第Ⅱ卷（非選擇題  共84分）
二、填空題：本大題共5小題，共20分，只要求填寫最后結果，每小題填對得4分．
13．計算 + =_______．
14．方程  的解為x=_______．
15．在射擊比賽中，某運動員的6次射擊成績（單位：環）為：7，8，10，8，9，6﹒計算這組數據的方差為_________．
16．如圖，某建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相距38m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為50º，觀測旗桿底部B的仰角為45º，則旗桿的高度約為 ________m．(結果精確到0.1m．參考數據：sin50º 0.77，cos50º 0.64，tan50º 1.19)
17． 如圖1，四邊形 中，AB∥CD， ， ．取 的中點 ，連接 ，再分別取 、 的中點 ， ，連接 ，得到四邊形 ，如圖2；同樣方法操作得到四邊形 ，如圖3；…，如此進行下去，則四邊形 的面積為             ．                        

 

 

三、解答題：本大題共7小題，共64分．解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．  
18． (本題滿分6分) 
先化簡，再求值：  ，其中  ， ．
19． (本題滿分8分)
2014 年1月，國家發改委出臺指導意見，要求2015年底前，所有城市原則上全面實行居民階梯水價制度．小明為了解市政府調整水價方案的社會反響，隨機訪問了自己居住小區的部分居民，就“每月每戶的用水量”和“調價對用水行為改變”兩個問題進行調查，并把調查結果整理成下面的圖1、圖2．

 

 

 

小明發現每月每戶的用水量在5m3—35 m3之間，有8戶居民對用水價格調價漲幅抱無所謂，不會考慮用水方式的改變．根據小明繪制的圖表和發現的信息，完成下列問題：
（1）n=_______，小明調查了_______戶居民，并補全圖1；
（2）每月每戶用水量的中位數和眾數分別落在什么范圍？
（3）如果小明所在小區有1800戶居民，請你估計“視調價漲幅采取相應的用水方式改變”的居民戶數有多少？

20．(本題滿分8分)
如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線OB，AC相交于點D，BE∥AC，
AE∥OB．
（1）求證：四邊形AEBD是菱形；
（2）如果OA=3，OC=2，求出經過點E的反比例函數解析式．

21． (本題滿分10分)
如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判斷 ABC的形狀：______________；
（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明你的結論；
（3）當點P位于 的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．

 

 

22． (本題滿分10分)
某商店以40元/千克的單價新進一批茶葉，經調查發現，在一段時間內，銷售量y(千克)與銷售單價x（元/千克）之間的函數關系如圖所示．
（1）根據圖象求y與x的函數關系式；
（2）商店想在銷售成本不超過3000元的情況下，使銷售利潤達到2400元，銷售單價應定為多少？

23．  (本題滿分10分)
（1）問題
如圖1，在四邊形ABCD中，點 為 上一點，  ．
求證：AD•BC=AP•BP．
（2）探究
如圖2，在四邊形ABCD中，點 為 上一點，當 時，上述結論是否依然成立？說明理由．
（3）應用
請利用（1）（2）獲得的經驗解決問題：
如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5， 點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發，沿邊AB向點B運動，且滿足∠CPD=∠A．設點P的運動時間為t（秒），當以D為圓心，
DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值．

 

24． (本題滿分12分)
已知拋物線 y= mx2+4x+2m與x軸交于點A（ ，0）、B( ，0)，且 ．
（1）求拋物線的解析式．
（2）拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點為C，頂點為D，點C關于l對稱點為E．是否存在 x軸上的點M、y軸上的點N，使四邊形DNME的周長最小？若存在，請畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．
（3）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時，求點P的坐標．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

數學試題參考解答及評分意見
評卷說明：
1．選擇題和填空題中的每小題，只有滿分和零分兩個評分檔，不給中間分．
2．解答題每小題的解答中所對應的分數，是指考生正確解答到該步驟所應得的累計分數．本答案對每小題只給出一種解法，對考生的其他解法，請參照評分意見進行評分．
3．如果考生在解答的中間過程出現計算錯誤，但并沒有改變試題的實質和難度，其后續部分酌情給分，但最多不超過正確解答分數的一半；若出現嚴重的邏輯錯誤，后續部分就不再給分．
一、選擇題：(本大題共12小題，每小題3分，共36分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B C D A C C B A C D B
二、填空題：(本大題共5小題，每小題4分，共20分)
13．  ；14．2；  15．  ； 16．7.2；17．  ．
三、解答題：(本大題共7小題, 共64分)
18. (本題滿分6分)
 解：原式=
         =        …………………………………………2分
        = ．                      …………………………………………4分
∵  ， ，
∴  ， ．            …………………………………………5分
原式= =  ．                    …………………………………………6分
19．(本題滿分8分)
解：（1）210   96                     …………………………………………2分
補全圖1為：

                                       …………………………………………4分

 

（2）中位數落在15—20之間，眾數落在10—15之間；………………………6分
（3）視調價漲幅采取相應的用水方式改變的戶數為：
1800×  =1050（戶）．        ……………………………………………8分
20 ．(本題滿分8分)
（1） 證明：∵ BE∥AC，AE∥OB，
∴四邊形AEBD是平行四邊形．  …………………………………………2分
又∵四邊形OABC是矩形，
∴OB=AC，且互相平分，
∴DA=DB．
∴四邊形AEBD是菱形．                …………………………………………4分
（2）連接DE，交AB于點F．
由（1）四邊形AEBD是菱形，
∴AB與DE互相垂直平分．………………………5分
又∵OA=3，OC=2，
∴EF=DF= OA=  ，AF= AB=1 ．
∴E點坐標為（  ，1）．…………………………………………7分
設反比例函數解析式為  ，
把點E（  ，1）代入得 ．
∴所求的反比例函數解析式為 ．…………………………………………8分
21．(本題滿分10分)
解：（1）等邊三角形．…………………………………………2分
（2）PA+PB=PC．    …………………………………………3分
證明：如圖1，在PC上截取PD=PA，連接AD．……………………………4分
∵∠APC=60°，
∴△PAD是等邊三角形．
∴PA=AD，∠PAD=60°．
又∵∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠DAC．
∵AB=AC，
∴△PAB≌△DAC．…………………………………………6分
∴PB=DC．
∵PD+DC=PC，
∴PA+PB=PC．…………………………………………7分
（3）當點P為 的中點時，四邊形APBC面積最大．…………………8分
理由如下：如圖2，過點P作PE⊥AB，垂足為E，
過點C作CF⊥AB，垂足為F，
∵ ，  ．
∴S四邊形APBC=  ．
∵當點P為 的中點時，PE+CF =PC， PC為⊙O直徑，
∴四邊形APBC面積最大．
又∵⊙O的半徑為1，
∴其內接正三角形的邊長AB=  ．………………………………………………9分
∴S四邊形APBC=  = ．………………………………………………10分
22．(本題滿分10分)
解：（1）設y與x函數關系式為y=kx+b，把點
（40，160），（120， 0）代入得，
  ………………………3分
解得  
∴y與x函數關系式為y=-2x+240（  ）．………………………5分
（2） 由題意，銷售成本不超過3000元，得40（-2x+240）  3000．
解不等式得， ．
∴ ．………………………7分
根據題意列方程得（x-40）（-2x+240）=2400．………………………8分
即： ．
解得   ，  ．………………………9分
∵60<82.5，故舍去．
∴銷售單價應該定為100元．………………………10分
23. (本題滿分10分)
（1）證明：如圖1
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠A PD=90°．
∠BPC+∠APD=90°．
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△ BPC．………………………………………………………1分
∴ ．
∴AD BC=AP BP ．………………………………………………………2分
(2)結論AD BC=AP BP仍成立.
理由：如圖2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠A+∠ADP =∠DPC+∠BPC．
∵∠DPC=∠A=   ，
∴∠BPC=∠ADP．………………………………………3分
又∵∠A=∠B= ，
∴△ADP∽△ BPC．………………………………………4分
∴ ．
∴AD BC=AP BP．………………………………………5分
（3）如圖3，過點D作DE⊥AB于點E．
∵AD=BD=5，
∴AE=BE=3，由勾股定理得DE=4. ………………………………………6分
∵以D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切，
∴DC＝DE＝4，
∴BC＝5－4＝１．
又∵AD=BD，
∴∠A=∠B．
由已知，∠CPD=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B．
由（1）、（2）的經驗可知AD BC=AP BP . ………………………7分
又AP＝t，BP＝6－t，
∴t（6－t）＝5×１．…………………………………………………8分
解得t１＝１，t２＝5．
∴t的值為1秒或5秒．…………………………………………………10分
24．(本題滿分12分)
（1）由題意可知， ，  是方程  的兩根，由根與系數的關系可得， + =  ，  =-2．………………………1分
∵  ，
∴  ．即： ．
∴m=1．………………………2分
∴拋物線解析式為 ． ………………………3分
（2） 存在x軸，y軸上的點M，N，使得四邊形DNME的周長最小．
∵ ，
∴拋物線的對稱軸 為  ，頂點D的坐標為（2，6）．………………………4分
又拋物線與y軸交點C的坐標為（0，2），點E與點C關于 對稱，
∴E點坐標為（4，2）．     
作點D關于y軸的對稱點D′，作點E關于x軸的對稱點E′，…………………………5分
則D′坐標為（-2，6），E′坐標為（4，-2）．連接D′E′，交x軸于M，交y軸與N．
此時，四邊形DNME的周長最小為D′E′+DE．（如圖1所示）
延長E′E， D′D交于一點F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8．
∴D′E′=  =  ．…………………………6分
設對稱軸 與CE交于點G，在Rt△DG E中，DG=4，EG=2．
∴DE=  = ．
∴四邊形DNME的周長的最小值為
10+  ．…………………………8分
（3）如圖2， P為拋物線上的點，過P作PH⊥x軸，垂足為H．若以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，則△PHQ≌△DGE．
∴PH=DG=4． …………………………9分
即  =4．
∴當y=4時，  =4，解得 ．…………………………10分
當y=-4時，  =-4，解得 ．
∴點P的坐標為（  ，4），（ ，4），（ ，-4），（ ，-4）．
……………………………12分 2016德州中考數學考試說明大綱及樣題答案

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